已知F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,點M(4,2),P是拋物線上的任意一點,|PM|+|PF|的最小值為5.
(1)求該拋物線的方程;
(2)設(shè)過點F,斜率為1的直線與拋物線交于A、B兩點,當|PM|+|PF|取得最小值時,求:
①△PAB的面積;
②△AOB(O是坐標原點)外接圓的方程.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由已知條件得4+
p
2
=5,由此能求出拋物線的方程.
(2)①當|PM|+|PF|取得最小值時,點P為過M點且垂直于準線的直線與拋物線的交點,從而P(1,2),過點F(1,0)斜率為1的直線方程為y=x-1,由
y2=4x
y=x-1
,得x2-6x+1=0,由此橢圓弦長公式和點到直線的距離公式能求出△PAB的面積.
②解方程x2-6x+1=0,得A(3+2
2
,2+2
2
),B(3-2
2
,2-2
2
),從而AB有中垂線的方程為x+y-5=0,OA的中垂線方程為:y-(1+
2
)=(-
1
2
-
2
2
)(x-
3
2
-
2
),由此能示出△AOB外接圓方程.
解答: 解:(1)∵拋物線上的點到焦點距離=到準線的距離,
∴|PM|+|PF|=|PM|+P到準線的距離
≤M到到準線的距離
=4+
p
2
=5,
解得p=2,∴拋物線的方程y2=4x.
(2)①當|PM|+|PF|取得最小值時,
點P為過M點且垂直于準線的直線與拋物線的交點,
∴P(xP,2),∴22=4xP,解得xP=1,
∴P(1,2),
過點F(1,0)斜率為1的直線方程為y=x-1,
y2=4x
y=x-1
,得x2-6x+1=0,
△=36-4=32>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=6,x1x2=1,
∴|AB|=
(1+1)(36-4)
=8,
點P(1,2)到直線AB:y=x-1的距離d=
|1-2-1|
2
=
2
,
∴△PAB的面積S△PAB=
1
2
×
2
×8
=4
2

②解方程x2-6x+1=0,得x1=3+2
2
,x2=3-2
2
,
∴A(3+2
2
,2+2
2
),B(3-2
2
,2-2
2
),
∴AB的中點坐標為(3,2),
kAB=
4
2
4
2
=1,∴AB有中垂線的方程為:y-2=-(x-3),即x+y-5=0.①
OA有中點(
3
2
+
2
,1+
2
),kOA=
1+
2
3
2
+
2
=2
2
-2
,
∴OA的中垂線方程為:y-(1+
2
)=(-
1
2
-
2
2
)(x-
3
2
-
2
),②
聯(lián)立①②得△AOB外接圓圓心為:(
7+8
2
2
3-8
2
2
),
外接圓半徑r=
(
7+8
2
2
-3-2
2
)2+(
3-8
2
2
-2-2
2
)2
=
161+16
2
2
,
∴△AOB(O是坐標原點)外接圓的方程:
(x-
7+8
2
2
2+(y-
3-8
2
2
2=
161+16
2
2
點評:本題考查拋物線方程的求法,考查三角形面積的求法,考查三角形外接圓方程的求法,解題時要認真審題,注意橢圓弦長公式的合理運用.
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