Question

已知直線x+

3

y+m=0與圓x²+y²=8交于不同的兩點(diǎn)A、B．O是坐標(biāo)原點(diǎn)，|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：設(shè)AB線段的中點(diǎn)為 C，可得|OC|≥|AC|，∠AOB≤90°，可得2

2

＞|OC|≥2，即2

2

＞

|m|

2

≥2，解不等式4

2

＞|m|≥4，求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：設(shè)AB線段的中點(diǎn)為C，則
∵|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，
∴2|

OC

|≥|

AB

|，
∴|OC|≥|AC|，∴∠AOC≤45°，∠AOB≤90°．
當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，|AB|=

2

R=4，圓心到直線的距離|OC|=2，
故當(dāng)∠AOB≤90°時(shí)，由題意可得2

2

＞|OC|≥2，即2

2

＞

|m|

2

≥2，
解得4

2

＞|m|≥4，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4，4

2

)∪(-4

2

，-4]．
故答案為：[4，4

2

)∪(-4

2

，-4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，絕對(duì)值不等式的解法，向量的和與向量的模．本題解題的關(guān)鍵是|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，轉(zhuǎn)化為2

2

＞|OC|≥2，屬于中檔題．