Question

已知橢圓的離心率為．
（Ⅰ）過橢圓C的右焦點F且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦 長為1，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設經過橢圓C右焦點F的直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點P，且，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得解得，由此能得到所求的橢圓方程．
（Ⅱ）由，得．設直線l方程為：，A點坐標為（x₁，y₁），
B點坐標為（x₂，y₂），得P點坐標，F(xiàn)點坐標為，因為，所以．因為，所以由此能求出λ₁+λ₂的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得解得（2分）
所以所求的橢圓方程為：．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得．
設直線l方程為：，A點坐標為（x₁，y₁），
B點坐標為（x₂，y₂），得P點坐標，F(xiàn)點坐標為
因為，所以
因為，所以．（6分）
得，．（7分）
由（8分）
得．
所以．（10分）
+=
=．（12分）
點評：本題考查圓錐曲線和直線的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．