Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1C1C是矩形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=2，AC=1，，．

（1）求證：AA1⊥平面ABC；

（2）在線段BC1上是否存在一點D，使得AD⊥A1B？若存在求出的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在，．

【解析】

（1）由已知先證明AA1⊥AC，利用面面垂直的性質可證AA1⊥平面ABC．

（2）假設存在．設D（x1，y1，z1）是線段BC1上一點，且（λ∈[0，1]），求出，解得λ的值，即可求解．

解：（1）因為側面AA1C1C是矩形，

所以AA1⊥AC，

因為平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個平面的交線AC，

所以AA1⊥平面ABC．

（2）由（1）知AA1⊥AC，AA1⊥AB．

由題意知AB=2，AC=1，，

所以AB⊥AC，

如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A-xyz，

則A（0，0，0），B（0，2，0），，，

假設D（x1，y1，z1）是線段BC1上一點，其中，，，

設（λ∈[0，1]），即（x1，y1-2，z1）═，

解得x1=λ，y1=2-2λ，，

所以．

若在線段BC1上存在一點D，使得AD⊥A1B，

則，即，

得4-6λ=0，解得，

因為，

所以在線段BC1上存在一點D，使得AD⊥A1B，此時．