Question

將如圖所示的三角形數(shù)陣中所有的數(shù)按從上至下、從左至右的順序排列成數(shù)列a₁₁，a₂₁，a₂₂，a₃₁，a₃₂，…．若所得數(shù)列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且a₁₁=2，a₃₃=12，則①數(shù)陣中的數(shù)a_ii可用i表示為　　；

②若a_mn+a_{（m+1）（n+1）}=a_{（m+2）（n+2）}，則m+n的值為　　．

Answer 1

5

解：①不妨設(shè)等差數(shù)列a11，a21，a22，a31，a32，…為{bn}，則由a11=2，a33=12可得b1=2，公差d=2．

故bn=2n．而 aii可為等差數(shù)列{bn}中的第1+2+3+…+i= 個(gè)，∴aii =2×=i（i+1）=i2+i，

故答案為 i2+i．②由題意可得，amn=b1+2+3+…+（m﹣1）+n=2[1+2+3+…+（m﹣1）+n]=m2﹣m+2n．

∴a（m+1）（n+1）=（m+1）2﹣（m+1）+2（n+1），a（m+2）（n+2）=（m+2）2﹣（m+2）+2（n+2）．

再由 amn+a（m+1）（n+1）=a（m+2）（n+2），

可得 m2﹣m+2n+（m+1）2﹣（m+1）+2（n+1）=（m+2）2﹣（m+2）+2（n+2），

化簡(jiǎn)可得 m2﹣3m﹣4+2n=0，由于n＞0，∴m2﹣3m﹣4＜0，解得﹣1＜m＜4，

∴m=1，2，3，再由 m≥n＞0，可得，∴m+n=5，故答案為 5．