【題目】已知.

(I)討論的單調性;

(II)當有最大值,且最大值大于時,求a的取值范圍.

【答案】

1見解析20,1.

【解析】

試題分析:

(1)由題已知函數(shù)的解析式(注意定義域),可運用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間。即:為函數(shù)的增區(qū)間,反之為減區(qū)間。由導函數(shù)中含有字母參數(shù),需分類討論;

(2)由題給出了函數(shù)的最大值的范圍大于,再結合(1)已知函數(shù)的單調區(qū)間,可對應單調性,表示出函數(shù)的最大值,從而建立不等式lna+a-1<0,需構造函數(shù)利用單調性解出不等式的解,而求出的取值范圍。

試題解析:

fx=lnx+a1﹣x的定義域為0,+∞,∴f′x=﹣a=,

若a≤0,則f′x>0,∴函數(shù)fx0,+∞上單調遞增,

若a>0,則當x∈0,時,f′x>0,

當x∈,+∞時,f′x<0,所以fx0,上單調遞增,在,+∞上單調遞減,

知,當a≤0時,fx0,+∞上無最大值;

當a>0時,fx在x=取得最大值,最大值為f=﹣lna+a-1,

∵f2a﹣2,∴l(xiāng)na+a-1<0,

令ga=lna+a-1,∵ga0,+∞單調遞增,g1=0,

∴當0<a<1時,ga<0,當a>1時,ga>0,∴a的取值范圍為0,1.

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