Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且有S_n=1-a_n（n∈N⁺），點(diǎn)（a_n，b_n）在直線y=nx上，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求T_n．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=1-a_n與S_n+1=1-a_n+1作差、計(jì)算、整理可知數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)、公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）且將點(diǎn)（a_n，b_n）代入y=nx可知b_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=1-a_n（n∈N⁺），
∴S_n+1=1-a_n+1，
兩式相減得：a_n+1=a_n-a_n+1，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，
又∵a₁=1-a₁，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)、公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）∵點(diǎn)（a_n，b_n）在直線y=nx上，
∴b_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2[$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$]
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．