Question

20．某公司今年年初用25萬元引進一種新的設備，投入設備后每年收益為21萬元．該公司第n年需要支付設備的維修和工人工資等費用a_n的信息如圖．
（1）求a_n；
（2）引進這種設備后，第幾年后該公司開始獲利？
（3）引進這種設備后，哪一年獲利最大？最大利潤是多少萬元？

Answer 1

分析 （1）由圖示可得，每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數列，運用等差數列的通項公式，即可得到；
（2）設純收入與年數n的關系為f（n），由等差數列的求和公式和利潤的求法，令f（n）＞0，解不等式即可得到所求；
（3）由二次函數的最值的求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由題意知，每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數列，
求得：a_n=a₁+2（n-1）=2n；
（2）設純收入與年數n的關系為f（n），
則：$f（n）=21n-[2n+\frac{n（n-1）}{2}•2]-25=20n-{n^2}-25$，
由f（n）＞0得n²-20n+25＜0   
解得$10-5\sqrt{3}＜n＜10+5\sqrt{3}$，
又因為n∈N^*，所以n=2，3，4，…18．
即從第2年該公司開始獲利；
（3）f（n）=-（n-10）²+75，
當n=10時，即第10年獲利最大，最大利潤為75萬元．

點評 本題考查等差數列的通項和求和公式的運用，考查二次函數的最值的求法和二次不等式的解法，屬于中檔題．