Question

10．設函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1-x}{ax}$（a＞0）．
 求：利用函數(shù)單調性的定義，判斷函數(shù)f（x）在 （0，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析 先化簡f（x）=ax+$\frac{1}{ax}$$-\frac{1}{a}$，根據(jù)單調性的定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性：設任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，從而得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}）$，這樣便可看出${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{1}{a}）$，和${x}_{1}，{x}_{2}∈（\frac{1}{a}，+∞）$時，可以判斷f（x₁）與f（x₂）的關系，從而判斷出f（x）在（0，+∞）上的單調性．

解答 解：$f（x）=ax+\frac{1}{ax}-\frac{1}{a}$，設x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=a{x}_{1}+\frac{1}{a{x}_{1}}-a{x}_{2}-\frac{1}{a{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂＞0，a＞0；
∴x₁-x₂＞0；
∴①${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{1}{a}）$時，$a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上單調遞減；
②${x}_{1}，{x}_{2}∈（\frac{1}{a}，+∞）$時，$a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[$\frac{1}{a}$，+∞）上單調遞增．

點評 考查函數(shù)單調性的定義，根據(jù)單調性定義判斷一個函數(shù)單調性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂）的大小，作差之后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．