Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x2-1

（a為常數(shù)且a≠0），定義域?yàn)椋?1，1）
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）若a=1，試判斷并證明f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵f（x）=

ax

x2-1

（a為常數(shù)且a≠0），定義域?yàn)椋?1，1）
∴f(-x)=

-ax

x2-1

=-

ax

x2-1

=-f(x)，∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

ax

x2-1

=

x

x2-1

，為單調(diào)遞減函數(shù)．
證明：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=

x2-1-x?2x

(x2-1)2

=

-(x2+1)

(x2-1)2

，
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′(x)=

-(x2+1)

(x2-1)2

＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性比較簡潔的方法．