【題目】已知圓C的方程為:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0.
(1)求m的取值范圍;
(2)若圓C與直線3x+4y﹣6=0交于M、N兩點(diǎn),且|MN|=2 ,求m的值;
(3)設(shè)直線x﹣y﹣1=0與圓C交于A、B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)m,使得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),若存在,求出實(shí)數(shù)m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0,
由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m>0,得m<5,
∴當(dāng)m<5時(shí),曲線C表示圓
(2)解:∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0,
∴(x﹣1)2+(y﹣2)2=5﹣m,
∴圓心C(1,2),半徑r= ,
∵圓心C(1,2)到直線3x+4y﹣6=0的距離d= =1,
又|MN|=2 ,由r2=d2+3,即5﹣m=1+3,
解得m=1
(3)解:假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),則OA⊥OB,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2+y1y2=0,
由 ,
得2x2﹣8x+5+m=0,
∴△=64﹣8(m+5)=24﹣8m>0,即m<3,又由(1)知m<5,
故m<3,x1+x2=4,x1x2= ,
∴y1y2=(x1﹣1)(x2﹣1)=x1x2﹣(x1+x2)+1= ﹣4+1= ,
∴x1x2+y1y2= + =m+2=0,
∴m=﹣2<3,
故存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),m=﹣2
【解析】(1)由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m>0,由求出當(dāng)m<5時(shí),曲線C表示圓;(2)由已知條件推導(dǎo)出圓心C(1,2),半徑r= ,由此利用點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)公式,結(jié)合已知條件能求出m=1;(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),則OA⊥OB,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),則x1x2+y1y2=0,由 ,得2x2﹣8x+5+m=0,由此能求出存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線的方程;
(2)若不等式 對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知an=log(n+1)(n+2)(n∈N*).我們把使乘積a1a2a3…an為整數(shù)的數(shù)n叫做“優(yōu)數(shù)”,則在區(qū)間(1,2004)內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和為( )
A.1024
B.2003
C.2026
D.2048
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知數(shù)列{log2(an﹣1)}為等差數(shù)列,且a1=3,a2=5.
(1)求證:數(shù)列{an﹣1}是等比數(shù)列;
(2)求 + +…+ 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公差d>0,且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)n∈N*均有 =an+1成立,求c1+c2+c3+…+c2016 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù) .
(1)若f(x)是奇函數(shù),求m的值;
(2)當(dāng)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判斷函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉如圖所示,若它們的平均數(shù)相同,則下列關(guān)于甲、乙兩組數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的描述,正確的是( )
A.甲較穩(wěn)定
B.乙較穩(wěn)定
C.二者相同
D.無(wú)法判斷
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2sin Acos C=2sin B-sin C.
(1)求A的大小;
(2)在銳角三角形ABC中, ,求c+b的取值范圍.
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