Question

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點為m，函數(shù)g（x）=1og_ax+x-4的零點為n，則

1

m

+

2

n

的最小值為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  1+2 2

  4

• D、

  3+2 2

  4

Answer 1

分析：構(gòu)建函數(shù)F（x）=a^x，G（x）=log_ax，h（x）=4-x，確定m+n=4，再利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可求得最小值．

解答：解：由題意，構(gòu)建函數(shù)F（x）=a^x，G（x）=log_ax，h（x）=4-x，
則h（x）與F（x），G（x）的交點A，B的橫坐標(biāo)分別為m、n，
注意到F（x）=a^x，G（x）=log_ax，關(guān)于直線y=x對稱，可以知道A，B關(guān)于y=x對稱，
由于y=x與y=4-x交點的橫坐標(biāo)為2，
∴m+n=4，
∴

1

m

+

2

n

=

1

4

(

1

m

+

2

n

)(m+n)=

1

4

(3+

n

m

+

2m

n

)≥

1

4

(3+2

n m • 2m n

)=

1

4

(3+2

2

)，當(dāng)且僅當(dāng)

2

m=n時取等號，
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的零點，考查函數(shù)的最值，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定m+n的值，利用“1”的代換是關(guān)鍵．