Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足9${\;}^{_{1}-1}$$•{9}^{_{2}-1}$$…{9}^{_{n}-1}$=（a_n+1）${\;}^{_{n}}$，證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和求和之間的關(guān)系，將n換成n-1，兩式相減，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到；
（2）由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得2（b₁+b₂+…+b_n）-nb_n=2n，設(shè)T_n=b₁+b₂+…+b_n，即有2T_n-nb_n=2n，將n換成n-1，兩式相減，再將n換成n-1，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和定義，即可得證．

解答 （1）解：a₁=1，a_n+1=2S_n+1．①即有a₂=2a₁+1=3，
將n換成n-1，可得a_n=2S_n-1+1，②
①-②可得a_n+1-a_n=2a_n，即為a_n+1=3a_n，
即有a_n=3•3^n-2=3^n-1，對(duì)n=1也成立．
則{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3^n-1；
（2）證明：由9${\;}^{_{1}-1}$$•{9}^{_{2}-1}$$…{9}^{_{n}-1}$=（a_n+1）${\;}^{_{n}}$，
可得${9}^{_{1}+_{2}+…+_{n}-n}$=${3}^{n_{n}}$，
即有2（b₁+b₂+…+b_n）-nb_n=2n，
設(shè)T_n=b₁+b₂+…+b_n，
當(dāng)n=1時(shí)，2b₁=2+b₁，解得b₁=2，
當(dāng)n＞1時(shí)，2T_n-nb_n=2n，
即有2T_n-1-（n-1）b_n-1=2（n-1）．
兩式相減，可得2b_n-nb_n+（n-1）b_n-1=2，
將n換成n-1可得，2b_n-1-（n-1）b_n-1+（n-2）b_n-2=2，
即有（2-n）b_n+（n-1）b_n-1=（3-n）b_n-1+（n-2）b_n-2，
（2-n）b_n-2+（2-n）b_n=2（2-n）b_n-1．
即為b_n-2+b_n=2b_n-1．即有b_n-b_n-1=b_n-1-b_n-2=…=b₂-b₁．
由等差數(shù)列的定義可得，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和之間的關(guān)系，同時(shí)考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)和定義的運(yùn)用，考查推理能力，屬于難題．