Question

5．已知函數(shù)f（x）=2^x，$g（x）=\frac{1}{{{2^{|x|}}}}+2$．
（1）求函數(shù)g（x）的值域；
（2）求滿足方程f（x）-g（x）=0的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用指數(shù)式的簡單性質(zhì)，求解函數(shù)的值域即可．
（2）化簡方程，轉(zhuǎn)化為二次方程的形式，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解�。�1）g（x）=$\frac{1}{2|x|}$+2=${（{\frac{1}{2}}）^{|x|}}$+2，因為|x|≥0，所以0＜${（{\frac{1}{2}}）^{|x|}}$≤1，
即2＜g（x）≤3，故g（x）的值域是（2，3]．
（2）由f（x）-g（x）=0，得2^x-$\frac{1}{2|x|}$-2=0，
當(dāng)x≤0時，顯然不滿足方程，當(dāng)x＞0時，由2^x-$\frac{1}{2x}$-2=0，
整理得（2^x）²-2•2^x-1=0，（2^x-1）²=2，故2^x=1±$\sqrt{2}$，因為2^x＞0，
所以2^x=1+$\sqrt{2}$，即x=log₂（1+$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查函數(shù)的最值以及函數(shù)的零點的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．