Question

7．某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件產(chǎn)品甲的銷售收入為3千元，每件產(chǎn)品乙的銷售收入為4千元．這兩種產(chǎn)品都需要在A，B兩種不同的設(shè)備上加工，按工藝規(guī)定，一件產(chǎn)品甲和一件產(chǎn)品乙在各設(shè)備上需要加工工時如表所示：

設(shè)備 產(chǎn)品	A	B
甲	2h	1h
乙	2h	2h

已知A，B兩種設(shè)備每月有效使用臺時數(shù)分別為400h、300h（一臺設(shè)備工作一小時稱為一臺時）．分別用x，y表示計劃每月生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的件數(shù)．
（Ⅰ）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）問每月分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件，可使每月的收入最大？并求出此最大收入．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由題意列出x，y所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式，畫出可行域；
（Ⅱ）寫出目標(biāo)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意，x，y所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y≤400}\\{x+2y≤300}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
畫出可行域如圖：
（Ⅱ）設(shè)每月的銷售收入為z千元，則z=3x+4y．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=200}\\{x+2y=300}\end{array}\right.$，解得B（100，100）．
化目標(biāo)函數(shù)z=3x+4y為y=-$\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$．
由圖可知，當(dāng)直線y=-$\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$過B時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為700．
∴每月分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為100件、100件時，可使每月的收入最大，最大收入為70萬元．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，是中檔題．