Question

(本小題9分)
如圖所示，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=7，CD⊥AP，現(xiàn)將沿折線CD折成60°的二面角P—CD—A，設(shè)E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(diǎn)。
（I）求證：PA//平面EFG；
（II）若M為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)M在什么位置時(shí)，MF與平面EFG所成角最大。

Answer 1

（I）證明見(jiàn)解析。
（II）M為線段CD中點(diǎn)時(shí)，最大。

方法一：
（I）證明：平面PAD，
                                     2分
過(guò)P作AD的垂線，垂足為O，則PO平面ABCD。
過(guò)O作BC的垂線，交BC于H，以O(shè)H，OD，OP為x
軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
是二面角P—PC—A的平面角，，
又
得

故                                                                     4分
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為則
                       6分
而
故PA//平面EFG。                         7分
（II）解：設(shè)M（x，2，0），則，                                        9分
設(shè)MF與平面EFG所成角為，
則                                12分
故當(dāng)取到最大值，則取到最大值，此時(shí)點(diǎn)M為線段CD的中點(diǎn)。14分
方法二：
（I）證明：取AD的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，HG。                                                        2分
H，G為AD，BC的中點(diǎn)，∴HG//CD，又EF//CD。
∴EF//HG，
∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面
又∵PA//EH，EH平面EFGH，PA平面EFGH，
∴PA//平面EFG。                            7分
（II）解：過(guò)M作MO⊥平面EFG，垂足O，連結(jié)OF，

則即為MF與平面EFG所成角，因?yàn)镃D//EF，
故CD//平面EFG，故CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離
MO為定長(zhǎng)，故要使最大，只要MF最短，故當(dāng)
時(shí)，即M為線段CD中點(diǎn)時(shí)，最大。