Question

證明二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的兩個(gè)零點(diǎn)在點(diǎn)（m，0）的兩側(cè)的充要條件是af（m）＜0．

Answer 1

分析：一方面證明充分性，先用反證法證明b²-4ac＞0，從而得出故二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，利用零點(diǎn)與方程的關(guān)系及已知條件即可證明x₁＜m＜x₂．另一方面證明必要性，即證明二次函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)在點(diǎn)（m，0）的兩側(cè)的⇒af（m）＜0．

解答：解：充分性：設(shè)△=b²-4ac≤0則af（x）=a²x²+abx+ac=a²（x+

b

2a

）²-

b2

4

+ac=a²（x+

b

2a

）²-

1

4

（b²-4ac）≥0，
所以af（m）≥0，這與af（m）＜0矛盾，即b²-4ac＞0．
故二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，設(shè)為x₁，x₂，且x₁＜x₂，從而f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
af（m）=a²（m-x₁）（m-x₂）＜0，所以x₁＜m＜x₂．
必要性：設(shè)x₁，x₂是方程的兩個(gè)零點(diǎn)，且x＜x₂，由題意知x₁＜m＜x₂，
因?yàn)閒（x）=a（x-x₁）（x-x₂），且x₁＜m＜x₂．
∴af（m）=a²（m-x₁）（m-x₂）＜0，即af（m）＜0．
綜上所述，二次函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)在點(diǎn)（m，0）的兩側(cè)的充要條件是af（m）＜0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查必要條件、充分條件與充要條件的判別，同時(shí)考查二次方程根的相關(guān)知識(shí)．