證明二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的兩個零點在點（m，0）的兩側的充要條件是af（m）＜0．
充分性：設△=b2-4ac≤0則af（x）=a2x2+abx+ac=a2（x+
b
2a
）2-
b2
4
+ac=a2（x+
b
2a
）2-
1
4
（b2-4ac）≥0，
所以af（m）≥0，這與af（m）＜0矛盾，即b2-4ac＞0．
故二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）有兩個不等的零點，設為x1，x2，且x1＜x2，從而f（x）=a（x-x1）（x-x2），
af（m）=a2（m-x1）（m-x2）＜0，所以x1＜m＜x2．
必要性：設x1，x2是方程的兩個零點，且x＜x2，由題意知x1＜m＜x2，
因為f（x）=a（x-x1）（x-x2），且x1＜m＜x2．
∴af（m）=a2（m-x1）（m-x2）＜0，即af（m）＜0．
綜上所述，二次函數(shù)f（x）的兩個零點在點（m，0）的兩側的充要條件是af（m）＜0．
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12
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