Question

16．設(shè)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，如果f（x）同時(shí)滿足下列條件：①存在x₀，使f″（x₀）=0；②存在?＞0，使f′（x）在區(qū)間（x₀-?，x₀）單調(diào)遞增，在區(qū)間（x₀，x₀+?）單調(diào)遞減．則稱x₀為f（x）的“上趨拐點(diǎn)”；
如果f（x））同時(shí)滿足下列條件：①存在x₀，使f″（x₀）=0；②存在?＞0，使f′（x）在區(qū)間（x₀-?，x₀）單調(diào)遞減，在區(qū)間（x₀，x₀+?）單調(diào)遞增．則稱x₀為f（x）的“下趨拐點(diǎn)”．給出以下命題，其中正確的是①③④（只寫出正確結(jié)論的序號(hào)）
①0為f（x）=x³的“下趨拐點(diǎn)”；
②f（x）=x²+e^x在定義域內(nèi)存在“上趨拐點(diǎn)”；
③f（x）=e^x-ax²在（1，+∞）上存在“下趨拐點(diǎn)”，則a的取值范圍為（$\frac{e}{2}$，+∞）；
④f（x）=$\frac{1}{a}$e^ax$-\frac{1}{2}$x²（a≠0），x₀是f（x）的“下趨拐點(diǎn)”，則x₀＞1的必要條件是0＜a＜1．

Answer 1

分析 ①求導(dǎo)f′（x）=3x²，f″（x）=6x；令f″（x）=6x=0解得x=0；再判斷單調(diào)性從而可得0為f（x）=x³的“下趨拐點(diǎn)”；
②求導(dǎo)f′（x）=2x+e^x，f″（x）=2+e^x；易知f′（x）=2x+e^x在R上是增函數(shù)，故f（x）=x²+e^x在定義域內(nèi)不存在“上趨拐點(diǎn)”；
③求導(dǎo)f′（x）=e^x-2ax，f″（x）=e^x-2a，可判斷f″（x）=e^x-2a在定義域上是增函數(shù)，從而問題轉(zhuǎn)化為f″（1）=e-2a＜0，從而解得；
④求導(dǎo)f′（x）=e^ax-x，f″（x）=a•e^ax-1；從而可得a•${e}^{a{x}_{0}}$-1=0，即x₀=$\frac{-lna}{a}$；從而可得$\frac{-lna}{a}$＞1，從而解得．

解答 解：①f（x）=x³，f′（x）=3x²，f″（x）=6x；
令f″（x）=6x=0解得，x=0；
取?=1，則易知f′（x）=3x²在區(qū)間（-1，0）單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞增．
故0為f（x）=x³的“下趨拐點(diǎn)”，故①正確；
②f（x）=x²+e^x，f′（x）=2x+e^x，f″（x）=2+e^x；
易知f′（x）=2x+e^x在R上是增函數(shù)，
故f（x）=x²+e^x在定義域內(nèi)不存在“上趨拐點(diǎn)”，故②是假命題；
③f（x）=e^x-ax²，f′（x）=e^x-2ax，f″（x）=e^x-2a；
易知f″（x）=e^x-2a在定義域上是增函數(shù)，
故f（x）=e^x-ax²在（1，+∞）上存在“下趨拐點(diǎn)”可化為
f″（1）=e-2a＜0，
解得，a＞$\frac{e}{2}$；故③正確；
④f（x）=$\frac{1}{a}$e^ax$-\frac{1}{2}$x²，f′（x）=e^ax-x，f″（x）=a•e^ax-1；
∵x₀是f（x）的“下趨拐點(diǎn)”，
∴a•${e}^{a{x}_{0}}$-1=0，
∴x₀=$\frac{-lna}{a}$；
∴$\frac{-lna}{a}$＞1，
∴0＜a＜1；故④正確；
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及學(xué)生對(duì)新定義的理解與掌握，屬于難題．