Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右支上存在與右焦點和左準線等距離的點，求離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的定義和焦半徑公式求得  x₀=

a(1+e)

e2-e

，由x₀≥a，得到e²-2e-1≤0，解不等式求出離心率
e 的范圍．

解答：解：設(shè)M（x₀，y₀）是雙曲線右支上滿足條件的點，且它到右焦點F₂的距離等于它到左準線的距離|MN|，
即|MF₂|=|MN|，再由雙曲線定義可知  

|MF1|

|MN|

=e∴

|MF1|

|MF2|

=e，
由焦點半徑公式得 

ex0+a

ex0-a

=e∴x0=

a(1+e)

e2-e

，
而  x0≥a  ∴

a(1+e)

e2-e

≥a，即  e²-2e-1≤0，解得1-

2

≤e≤

2

+1，
但 e＞1 ∴1＜e≤

2

+1，即離心率e的取值范圍是（1，

2

+1]．

點評：本題考查雙曲線的定義、標準方程以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到 x₀=

a(1+e)

e2-e

，是解題的關(guān)鍵，
屬于中檔題．