設△ABC的角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a2+b2=abcosC+
3
absinC，則△ABC的形狀為（　�。�
分析：將已知等式右邊提取2ab，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域得出a2+b2≤2ab，當且僅當C+
π
6
=
π
2
，即C=
π
3
時取等號；再利用基本不等式得到a2+b2≥2ab，且當且僅當a=b時取等號，進而確定出a=b且C=
π
3
，即可判定出此三角形為等邊三角形．
解答：解：∵-1≤sin（C+
π
6
）≤1，
∴a2+b2=abcosC+
3
absinC=2ab（
1
2
cosC+
3
2
sinC）=2absin（C+
π
6
）≤2ab，
當且僅當C+
π
6
=
π
2
，即C=
π
3
時取等號，
又a2+b2≥2ab，且當且僅當a=b時取等號，
則a=b且C=
π
3
，即△ABC為等邊三角形．
故選D
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及基本不等式的運用，熟練掌握公式是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設△ABC的角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知a=8，b=2，cosC=
14

①求△ABC的面積S；
②求AB邊上的高h．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=1-
3
sin2x+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時的x集合；
（2）設△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
m
=(
3
sinx，2cosx)，
n
=(2cosx，-cosx)，函數(shù)f(x)=
m
•
n
-1．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱軸的方程；
（Ⅱ）設△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，f（A）=0，求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年浙江省杭州市富陽市場口中學高三（上）8月月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時的x集合；
（2）設△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范圍．

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