如圖,四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形,其對(duì)角線AE、CF都與平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.
(1)求二面角B-AF-D的大。
(2)求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積.
(1)(2).
【解析】
試題分析:(1)方法一:連接交于菱形的中心,過作,為垂足,連接,根據(jù)定義可知為二面角的平面角,在三角形中求出此角即可;
方法二:設(shè)與交點(diǎn)為,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)平面,平面的法向量分別為,利用的公式進(jìn)行計(jì)算.
(2)連接,設(shè)直線與直線相交于點(diǎn),則四棱錐與四棱錐的公共部分為四棱錐,過作平面,為垂足,然后求出,利用體積公式求解即可.
試題解析:(1)方法一:如圖(1)連結(jié)AC、BD交于菱形的中心O,過O
作OG⊥AF,G為垂足. 連結(jié)BG、DG.
由BD⊥AC,BD⊥CF,得BD⊥平面ACF, 故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD,
所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD為二面角B-AF-D的平面角. 3分
由FC⊥AC,F(xiàn)C=AC=2,得∠FAC,.
由OB⊥OG,OB=OD=,得∠BGD=2∠BGO.
即二面角B-AF-D的大小為. 6分
方法二:設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BD 、AC所在直線為x軸
y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則A(0,-1,0),B(,0,0),D(,0,0),F(xiàn)(0,1,2)
,, 2分
設(shè)平面ABF,平面ADF的法向量分別為
設(shè)
由
令 4分
同理可得 ∴ ∴
∴二面角B-AF-D的大小為 6分
(2)如圖(2)連EB、EC、ED,設(shè)直線AF與直線CE相交于點(diǎn)H,
則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD.
過H作HP⊥平面ABCD,所以平面ACFE⊥平面ABCD,
從而. 7分
由,得. 9分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719260580865967/SYS201411171926209499129514_DA/SYS201411171926209499129514_DA.058.png">
故四棱錐的體積. 12分
考點(diǎn):1.二面角的計(jì)算;2.幾何體的體積.
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執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值是( )
A.-1 B. C. D.4
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設(shè)點(diǎn)是面積為4的內(nèi)部一點(diǎn),且有,則的面積為( )
A.2 B.1 C. D.
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在中,若,則與的大小關(guān)系為( )
A. B. C. D.、的大小關(guān)系不能確定
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A.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱
B.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱
C.奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱
D.奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱
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