已知橢圓+=1(a＞b＞0)內(nèi)有一點(diǎn)A,F1為左焦點(diǎn),F2為右焦點(diǎn),在橢圓上求一點(diǎn)P,使|PF1|+|PA|取得最值.

思路解析：求曲線上一動點(diǎn)與某定點(diǎn)距離之和的最值,往往是利用幾何變換,使得P、F1、A三點(diǎn)共線，或構(gòu)建三角形，利用三角形的性質(zhì)確定大小，進(jìn)而確定最值的.

解：如圖，設(shè)AF2與橢圓交于P1、P2兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上不同于P1、P2的任意一點(diǎn).

根據(jù)橢圓的定義,得|P1F1|+|P1F2|=2a,

 ∴|P1F1|+|P1A|=|P1F1|+|P1F2|+|F2A|=2a+|F2A|.

在△AMF2中，|MA|＜|MF2|+|F2A|，

∴|MF1|+|MA|＜|MF1|+|MF2|+|F2A|=2a+|F2A|.

∵點(diǎn)M是橢圓上任意一點(diǎn)，∴|MF1|+|MA|＜2a+|F2A|,

∴|MF1|+|MA|＜|P1F1|+|P1A|.

點(diǎn)P1是使|PF1|+|PA|取得最大值的點(diǎn).

同理,|P2F1|+|P2A|=|P2F1|+|P2F2|-|AF2|=2a-|AF2|.

在△AMF2中，|MA|＞|MF2|-|AF2|.

∴|MF1|+|MA|＞|MF1|+|MF2|-|AF2|=2a-|AF2|.

∴|MF1|+|MA|＞|P2F1|+|P2A|.

∴點(diǎn)P2是使|PF1|+|PA|取得最小值的點(diǎn).


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為,中心到準(zhǔn)線的距離為，則橢圓的方程為

A.+y2=1                                                     B.+y2=1

C.=1                                                  D. =1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓=1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)為F1、F2，過F2作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點(diǎn)為P，若∠PF1F2=30°，那么橢圓的離心率是（    ）

A.sin30°                  B.cos30°           C.tan30°                 D.sin45°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓=1(a＞b＞0)與雙曲線=1(m＞0,n＞0)有相同的焦點(diǎn)(-c，0)和(c，0)，若c是a、m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率是(    )

A.            B.               C.              D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為，直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上， = +，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓=1(a>b>0)與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,O是原點(diǎn).若橢圓上存在一點(diǎn)M,使MA⊥MO,求橢圓離心率e的取值范圍.

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