Question

5．若二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）解關于x的不等式  （k+1）f（x）＞kx+1．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=1，求出c=1，根據f（x+1）-f（x）=2x，通過系數相等，從而求出a，b的值；
（2）f（x）＞2x+m等價于x²-x+1＞2x+m，即x²-3x+1-m＞0，要使此不等式在[-1，-1]上恒成立，只需使函數g（x）=x²-3x+1-m在[-1，-1]的最小值大于0即可，求出g（x）的最小值即可．
（3）（k+1）f（x）＞kx+1即（k+1）x²-（2k+1）x+k＞0⇒（x-1）[（k+1）x-k]＞0，分當k=-1，當k＞-1，當k＜-1 三種情況分別解不等式．

解答 （1）由f（0）=1得，c=1，∴f（x）=ax²+bx+1．又f（x+1）-f（x）=2x
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x，即2ax+a+b=2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$…（5分）
．因此，f（x）=x²-x+1．…（4分）
（2）f（x）＞2x+m等價于x²-x+1＞2x+m，即x²-3x+1-m＞0，要使此不等式在[-1，1]上恒成立，只需使函數g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上的最小值大于0即可．
∵g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上單調遞減，
∴g（x）_min=g（1）=-m-1，由-m-1＞0得，m＜-1．
因此滿足條件的實數m的取值范圍是（-∞，-1）．                 …（8分）
（3）（k+1）f（x）＞kx+1即（k+1）x²-（2k+1）x+k＞0⇒（x-1）[（k+1）x-k]＞0
當k=-1時，x-1＞0，∴x∈（1，+∞）…（11分）
當k＞-1時，$（x-1）（{x-\frac{k}{k+1}}）＞0$∵$\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}＜1∴x∈（-∞，\frac{k}{k+1}）∪（1，+∞）$…（13分）
當k＜-1時，$（x-1）（{x-\frac{k}{k+1}}）＜0$∵$\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}＞1∴x∈（1，\frac{k}{k+1}）$…（15分）
綜上：當k=-1時x∈（1，+∞）
當k＞-1時，$x∈（-∞，\frac{k}{k+1}）∪（1，+∞）$
當k＜-1時，$x∈（1，\frac{k}{k+1}）$…（16分）

點評 本題考查函數解析式求解的待定系數法，涉及恒成立和二次函數區(qū)間的最值，考查了含參數不等式的解法，屬中檔題．