Question

14．已知，對于任意x∈R，e^x≥ax+b均成立．
①若a=e，則b的最大值為0；
②在所有符合題意的a，b中，a-b的最小值為-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 ①若a=e，可得b≤e^x-ex恒成立，由y=e^x-ex求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值，即可得到b的最大值；
②對于任意x∈R，e^x≥ax+b均成立，即有b≤e^x-ax恒成立，由y=e^x-ax求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得b≤a-alna，
即a-b≥alna，由f（a）=alna求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值，即可得到a-b的最小值．

解答 解：①若a=e，則對于任意x∈R，e^x≥ex+b均成立，
即為b≤e^x-ex恒成立，
由y=e^x-ex的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x-e，
當(dāng)x＞1時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增；當(dāng)x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)y遞減．
可得x=1處，函數(shù)y取得最小值，且為0，
則b≤0，即b的最大值為0；
②對于任意x∈R，e^x≥ax+b均成立，
即有b≤e^x-ax恒成立，
由y=e^x-ax的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，y′＞0恒成立，函數(shù)y遞增，無最小值；
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x＞lna時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增；當(dāng)x＜lna時(shí)，y′＜0，函數(shù)y遞減．
可得x=lna處，函數(shù)y取得最小值，且為a-alna，
則b≤a-alna，
即a-b≥alna，
由f（a）=alna的導(dǎo)數(shù)為f′（a）=lna+1，
可得a＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（a）＞0，f（a）遞增；
0＜a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（a）＜0，f（a）遞減．
可得a=$\frac{1}{e}$時(shí)，f（a）取得最小值-$\frac{1}{e}$．
則a-b的最小值為-$\frac{1}{e}$．
故答案為：0，-$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想方法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．