【題目】如圖,已知梯形中,,,四邊形為矩形,,平面平面.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求平面與平面所成二面角的正弦值;

(Ⅲ)若點(diǎn)在線段上,且直線與平面所成角的正弦值為,求線段的長(zhǎng).

【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)(Ⅲ)

【解析】

(Ⅰ)以為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面的法向量,利用向量的數(shù)量積,求得,即可得到平面

(Ⅱ)由(Ⅰ)求得平面的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,即可求解平面與平面所成二面角的正弦值.

(Ⅲ)設(shè),,得,利用向量的夾角公式,列出方程,求得,得到向量的坐標(biāo),進(jìn)而求解的長(zhǎng).

(Ⅰ)證明:四邊形為矩形,,

又平面平面,平面平面,

平面.

為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,

,,,

設(shè)平面的法向量,∵,,

,不妨設(shè),

,∴,

又∵平面平面

(Ⅱ)設(shè)平面的法向量

,,

,不妨設(shè),

, ∴

∴平面與平面所成二面角的正弦值為

(Ⅲ)∵點(diǎn)在線段上,設(shè),

又∵平面的法向量,設(shè)直線與平面所成角為

,

,∴

,∴,∴的長(zhǎng)為.

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