Question

8．已知$|{\overrightarrow a}|=3，|{\overrightarrow b}|=4，\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，若向量$\overrightarrow c$滿足$（{\overrightarrow a-\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b-\overrightarrow c}）=0$，則$|{\overrightarrow c}|$的取值范圍是[0，5]．

Answer 1

分析 先根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模，求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=5，再由$（{\overrightarrow a-\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b-\overrightarrow c}）=0$，得到$\overrightarrow{c}$|²=5|$\overrightarrow{c}$|cos（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$），繼而求出范圍．

解答 解：∵$|{\overrightarrow a}|=3，|{\overrightarrow b}|=4，\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=5，
∵$（{\overrightarrow a-\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b-\overrightarrow c}）=0$，
∴|$\overrightarrow{c}$|²=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=|（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{c}$|cos（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$）=5|$\overrightarrow{c}$|cos（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$），
∴|$\overrightarrow{c}$|=0，或|$\overrightarrow{c}$|=5cos（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$）≤5，
故$|{\overrightarrow c}|$的取值范圍[0，5]，
故答案為：[0，5]

點評 本題考查了向量的數(shù)量積的運算和向量的模，考查了學生的運算能力，屬于中檔題．