Question

已知函數(shù)h（x）=a^x，（a＞1），g（x）=，f（x）=h（x）+g（x）
①寫出f（x）的解析式及定義域；
②求證函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
③求證方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

Answer 1

解：①∵h(yuǎn)（x）=a^x，（a＞1），g（x）=，f（x）=h（x）+g（x）
∴（a＞1），
定義域（-∞，-1）∪（-1，+∞）…
證明：②設(shè)-1＜x₁＜x₂，
則=，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴，∴，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；…
③假設(shè)x₀是方程f（x）=0的負(fù)數(shù)根，且x₀≠-1，則，
即，①
當(dāng)-1＜x₀＜0時，0＜x₀+1＜1，∴，∴，
而由a＞1知，∴①式不成立；
當(dāng)x₀＜-1時，x₀+1＜0，∴，∴，
而，∴①式不成立．
綜上所述，方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．…
分析：①根據(jù)已知中f（x）=h（x）+g（x），可得函數(shù)的解析式，進而根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，可求出函數(shù)的定義域；
②-1＜x₁＜x₂，做差判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可判斷出函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
③假設(shè)x₀是方程f（x）=0的負(fù)數(shù)根，且x₀≠-1，則，分當(dāng)-1＜x₀＜0時和當(dāng)x₀＜-1時，討論其存在性，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的解析式，函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點，是函數(shù)較為綜合的應(yīng)用，難度比較大，屬于難題．