Question

記函數(shù)f(x)=

x-1

ax+1

 (a≠0且a≠-1)．
（1）試求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）已知函數(shù)h（x）=f（2^x），且函數(shù)y=h（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（3）記函數(shù)g（x）=h（x-1）+1，試計算g（-1）+g（0）+g（1）+g（2）+g（3）的值．

Answer 1

分析：（1）將f（x）=

x-1

ax+1

分離出常數(shù)，得到f（x）=

1

a

-

1 a +1

ax+1

，即可求得函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）由h（x）=f（2^x）=

2x-1

a•2x+1

，利用h（-x）=-h（x）即可求得a的值；
（3）由題意可得y=g（x）的圖象關于點（1，1）對稱，于是對任意的x₁，x₂∈R，都有當x₁+x₂=2時，g（x₁）+g（x₂）=2，從而可得答案．

解答：.解：（1）∵f（x）=

x-1

ax+1

=

1 a (ax+1)- 1 a -1

ax+1

=

1

a

-

1 a +1

ax+1

，
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠-

1

a

，x∈R}；值域為{y|y≠

1

a

，y∈R}，
 （2）h（x）=f（2^x）=

2x-1

a•2x+1

，
因為，y=h（x）為奇函數(shù)，所以h（-x）=-h（x），
即

2x-1

a•2x+1

=-

2-x-1

a•2-x+1

=

2x-1

a+2x

，
整理得2^2x-a=a•2^2x-1對任意x成立，所以a=1．
 （3）因為g（x）=h（x-1）+1，所以y=g（x）的圖象是由奇函數(shù)y=h（x）的圖象向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到的，
即y=g（x）的圖象關于點（1，1）對稱，從而對任意的x₁，x₂∈R，都有當x₁+x₂=2時，g（x₁）+g（x₂）=2，
∴g（-1）+g（3）=g（0）+g（2）=2，又g（1）=1，
∴g（-1）+g（0）+g（1）+g（2）+g（3）=5．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查函數(shù)的圖象與圖象變化，突出轉(zhuǎn)化思想的考查運用，考查中心對稱問題，綜合性強，運算量大，是難題．