Question

7．一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖，M是A₁B的中點(diǎn)，N是棱B₁C₁上的任意一點(diǎn)（含頂點(diǎn)）．

①當(dāng)點(diǎn)N是棱B₁C₁的中點(diǎn)時(shí)，MN∥平面ACC₁A₁；
②MN⊥A₁C；
③三棱錐N-A₁BC的體積為V_{N-A${\;}_{{\;}_{1}}$BC}=$\frac{1}{6}$a³；
④點(diǎn)M是該多面體外接球的球心．
其中正確的是①②③④．

Answer 1

分析 本題是直觀圖和三視圖的綜合分析題，要抓住M是A₁B的中點(diǎn)，N是棱B₁C₁上的任意一點(diǎn)（含頂點(diǎn)）就是動(dòng)點(diǎn)，從三視圖抓住直觀圖的特征，結(jié)合下情況分別證明．

解答 解：①M(fèi)連接AB中點(diǎn)E，N連接BC中點(diǎn)F，得到MNFE平行于平面ACC₁A₁，
面面平行⇒線面平行，①正確；
②M連接A₁C中點(diǎn)G，連接C₁G，A₁C⊥平面MNC₁G．∴MN⊥A₁C；②正確；
③三棱錐N-A₁BC的體積為V_N-A=$\frac{1}{3}•{S}_{{BCA}_{1}}•M{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}•C{A}_{1}•BC•M{B}_{1}$=$\frac{1}{6}$a³，③正確；
④由三視圖可知：此多面體是正方體切割下來了的，M是A₁B的中點(diǎn)（空間對(duì)角線中點(diǎn)），是正方體中心，∴點(diǎn)M是該多面體外接球的球心．故④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直觀圖和三視圖的關(guān)系．通過三視圖抓住直觀圖的特征；線面垂直的判定和性質(zhì)，遇中點(diǎn)找中點(diǎn)的思想．考慮補(bǔ)形來確定球心．考查空間想象能力，是中檔題．