Question

已知關(guān)于t的方程t²-2t+a=0（a∈R）有兩個虛根t₁、t₂，且滿足|t1-t2|=2

3

（1）求方程的兩個根以及實數(shù)a的值．
（2）若對于任意x∈R，不等式log_a（x²+a）≥-k²+2mk-2k對于任意的k∈[2，3]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：在解答時，對（1）應(yīng)先將兩個虛根設(shè)出，然后分別利用韋達定理和滿足的條件即可求的實部和虛部的值進而獲得方程的兩虛根，再由韋達定理即可求的a 的值；對（2）首先利用（1）中的結(jié)論對不等式log_a（x²+a）≥-k²+2mk-2k對于任意的k∈[2，3]恒成立，進行化簡．從而獲得不等式-k²+2mk-2k≤1對任意k∈[2，3]恒成立，然后通過游離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為求y=k+

1

k

在k∈[2，3]上的最小值即可獲得m的關(guān)系式，從而問題即可獲得解答．

解答：解：（1）設(shè)t₁=x+yi（x，y∈R），則t₂=x-yi；△=4-4a＜0
∴a＞1；t₁+t₂=2x=2∴x=1；|t1-t2|=2|y|=2

3

，∴y=

3

或-

3

；
所以兩根分別為1+

3

i，1-

3

i，
∴a=(1+

3

i)(1-

3

i)=4，
即方程的兩個根為：1+

3

i，1-

3

i，實數(shù)a的值為4．
（2）log₄（x²+4）≥log₄4=1，所以不等式-k²+2mk-2k≤1對任意k∈[2，3]恒成立．
（2m-2）k≤k²+1?2m-2≤k+

1

k

，k+

1

k

≥2當(dāng)且僅當(dāng)k=1的時候等號成立，
又∵y=k+

1

k

在k∈[2，3]上單調(diào)遞增，
所以k+

1

k

≥

5

2

所以2m-2≤

5

2

?m≤

9

4

，
故實數(shù)m的取值范圍為：(-∞，

9

4

]．

點評：本題考查的是函數(shù)的最值問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了方程虛根的求法，恒成立問題的解答規(guī)律以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會反思．