Question

已知關(guān)于t的方程t²-2t+a=0的一個(gè)根為1+

3

i．(a∈R)
（1）求方程的另一個(gè)根及實(shí)數(shù)a的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使對x∈R時(shí)，不等式log_a（x²+a）≥m²-2km+2k對k∈[-1，2]恒成立？若存在，試求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知另一根為1-

3

i，由此能求出a=(1+

3

i)(1-

3

i)=4．
（Ⅱ）設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足條件，不等式為m²-2km+2k≤log₄（x²+4），由log₄（x²+4）的最小值為1，知m²-2km+2k≤1對k∈[-1，2]恒成立，由此能夠推導(dǎo)出存在m=1滿足條件．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知一根為1-

3

i，
∴a=(1+

3

i)(1-

3

i)=4．
（Ⅱ）設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足條件，不等式為m²-2km+2k≤log₄（x²+4），
∵log₄（x²+4）的最小值為1，
∴m²-2km+2k≤1對k∈[-1，2]恒成立，
即2（1-m）k+m²-1≤0對k∈[-1，2]恒成立，
設(shè)g（k）=2（1-m）k+m²-1
則

g(-1)=m2+2m-3≤0 g(2)=m2-4m+3≤0

解得

-3≤m≤1 1≤m≤3

∴m=1，
因此存在m=1滿足條件．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．