Question

3．證明：x∈[0，+∞），e^x+x³-2x²≥（e-1）x．

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為e^x-ex≥-x³+2x²-x，分別構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x-ex，g（x）=-x³+2x²-x，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）_min=0，g（x）_max=0，問(wèn)題得以證明．

解答 證明：要證明x∈[0，+∞），e^x+x³-2x²≥（e-1）x，
只要證：x∈[0，+∞），e^x-ex≥-x³+2x²-x
設(shè)f（x）=e^x-ex，
∴f′（x）=e^x-e，
令f′（x）=0，解的x=1，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞1，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即x＜1，函數(shù)為減函數(shù)
∴f（x）_min=f（1）=e-e=0，
設(shè)g（x）=-x³+2x²-x，
∴g′（x）=-3x²+4x-1，
令g′（x）=0，解的x=1，或x=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即$\frac{1}{3}$＜x＜1，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即0≤x＜$\frac{1}{3}$，或x＞1，函數(shù)為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為g（1）=0，
∴g（0）=0，
∴g（x）_max=0，
∴對(duì)于任意x∈[0，+∞），f（x）_min≥g（x）_max，
∴f（x）≥g（x）在[0，+∞）上恒成立，
∴e^x-ex≥-x³+2x²-x在[0，+∞）上恒成立，
∴對(duì)x∈[0，+∞），e^x+x³-2x²≥（e-1）x．

點(diǎn)評(píng) 本題借助導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系，證明不等式成立，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，屬于中檔題．