Question

13．對(duì)于函數(shù)f（x）（x∈R），假如實(shí)數(shù)x₀滿足f（x₀）=x₀為f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”；若實(shí)數(shù)x₀滿足f[f（x₀）]=x₀，則稱x₀為f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”，記函數(shù)f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別為A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=3x-8，求集合A和B；
（2）判斷集合A和B的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅

Answer 1

分析 （1）利用A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}，即可求集合A和B；
（2）利用子集的定義判斷集合A和B的關(guān)系；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，△=（b-1）²-4a＜0，分類討論，證明B=∅．

解答 解：（1）由題意，3x-8=x，∴x=4，∴A={4}；
3（3x-8）-8=x，∴x=4，∴B={4}；
（2）A⊆B，理由如下：
A=∅，A⊆B成立；
A≠∅，設(shè)t為A中的任意一個(gè)元素，則f（t）=t，∴f[f（t）]=f（t）=t，∴t∈B，∴A⊆B，
綜上，A⊆B；
（3）∵A={x|f[f（x）]=x}=∅，
∴ax²+bx+c=x無(wú)解
即△=（b-1）²-4a＜0
①當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)y=f（x）-x，即y=ax²+（b-1）x+c的圖象在x軸的上方
∴?x∈R，f（x）-x＞0恒成立
∴?x∈R，f（x）＞x恒成立
∴?x∈R，f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立，即B=∅；
②當(dāng)a＜0時(shí)，同理可證B=∅；
綜上，對(duì)于函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），當(dāng)A=∅時(shí)，B=∅．

點(diǎn)評(píng) 本題考查子集關(guān)系，考查新定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．