Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：①f（x）=0；②f（x）=x²；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是“倍約束函數(shù)”的序號是（　�。�

• A． ①②④
• B． ③④
• C． ①④
• D． ①③④

Answer 1

分析 本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)F函數(shù)的定義對各選項進(jìn)行判定．比較各個選項，發(fā)現(xiàn)只有選項①③④，根據(jù)單調(diào)性可求出存在正常數(shù)M滿足條件，而對于其它選項，不等式變形之后，發(fā)現(xiàn)都不存在正常數(shù)M使之滿足條件，由此即可得到正確答案．

解答 解：對于①，m是任意正數(shù)時都有0≤m|x|，f（x）=0是F函數(shù)，故①正確；
對于②，f（x）=x²，|f（x）|=|x²|≤m|x|，即|x|≤m，不存在這樣的M對一切實(shí)數(shù)x均成立，故②錯；
對于③，要使|f（x）|≤m|x|成立，即|$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$|≤m|x|，當(dāng)x=0時，m可取任意正數(shù)；當(dāng)x≠0時，只須m$≥（\frac{1}{{x}^{2}+x+1}）_{max}$，因?yàn)閤²+x+1$≥\frac{3}{4}$，∴所以m≥$\frac{4}{3}$故③正確．
對于④，f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，故|f（x）|是偶函數(shù)，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實(shí)數(shù)x均成立，符合題意，故④正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的最值及其性質(zhì)，對選支逐個加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進(jìn)行檢驗(yàn)，方可得出正確結(jié)論．深刻理解題中F函數(shù)的定義，用不等式的性質(zhì)加以處理，找出不等式恒成立的條件再進(jìn)行判斷，是解決本題的關(guān)鍵所在，屬于難題．