Question

已知圓C：（x-2）²+（y-2）²=2，過原點O作圓C的切線OA、OB，切點依次記為A、B，過原點O引直線l交圓C與D、E兩點，交AB與F點．
（1）求直線AB的直線方程．
（2）求OD+OE的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求得O，A，C，B四點所在圓的方程，再兩圓相減，可得公共弦，即直線AB的方程；
（2）設(shè)l的方程，代入圓的方程，表示出OD+OE，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，O，A，C，B四點共圓，
因為圓C：（x-2）²+（y-2）²=2，圓心坐標(biāo)為（2，2），半徑為

2

所以O(shè)，A，C，B四點所在圓的圓心坐標(biāo)為（1，1），圓的半徑為

2

所以O(shè)，A，C，B四點所在圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=2，
因為圓C：（x-2）²+（y-2）²=2，
∴兩圓相減，可得公共弦，即直線AB的方程為x+y-3=0；
（2）設(shè)直線l：y=kx，代入圓C：（x-2）²+（y-2）²=2，消去y可得（1+k²）x²-（4+4k）x+6=0
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則OD+OE=

1+k2

（x₁+x₂）=4

1+ 2k 1+k2

≤4

2

∴OD+OE的最大值為4

2

．

點評：本題考查圓的方程，考查兩圓的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．