Question

16．關(guān)于下列命題：
①函數(shù)$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$的一條對(duì)稱軸為直線：$x=-\frac{π}{6}$；
②函數(shù)$y=cos2（{\frac{π}{3}-x}）$是偶函數(shù)；
③函數(shù)$y=4sin（{2x-\frac{π}{3}}）$的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{π}{6}，0}）$；
④函數(shù)$y=sin（{x+\frac{π}{4}}）$在閉區(qū)間$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上是增函數(shù)
寫出所有所有正確的命題的序號(hào)：①③．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及它們的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．

解答 解：令x=-$\frac{π}{6}$，求得cos（2x+$\frac{π}{3}$）=1，為函數(shù)$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$的最大值，故①函數(shù)$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$的一條對(duì)稱軸為直線$x=-\frac{π}{6}$，正確．
∵函數(shù)$y=cos2（{\frac{π}{3}-x}）$=cos（$\frac{2π}{3}$-2x）=-sin（$\frac{π}{6}$-2x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）是非奇非偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
令x=$\frac{π}{6}$，求得函數(shù)$y=4sin（{2x-\frac{π}{3}}）$=0，故該函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{π}{6}，0}）$，故③正確；
在閉區(qū)間$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上，x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，故函數(shù)$y=sin（{x+\frac{π}{4}}）$在閉區(qū)間$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上不是增函數(shù)，故④錯(cuò)誤，
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及它們的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．