Question

設函數(shù)f(x)=sinωx-sin(

π

2

-ωx)，x∈R．
（Ⅰ）若ω=

1

2

，求f（x）的最大值及相應的x的取值集合；
（Ⅱ）若x=

π

8

是f（x）的一個零點，且0＜ω＜10，求ω的值和f（x）的最小正周期．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）依題意當ω=

1

2

時，f（x）=

2

sin（

x

2

-

π

4

），從而得f（x）的最大值為

2

及相應的x的取值集合；
（Ⅱ）依題意f（

π

8

）=sin（

ωπ

8

-

π

4

）=0，可求得k=0，ω=2，即可求出f（x）的解析式，從而可求出f（x）的最小正周期．

解答： 解：（Ⅰ） f(x)=sinωx-sin(

π

2

-ωx)=sinωx-cosωx…（2分）
當ω=

1

2

時，f（x）=sin

x

2

-cos

x

2

=

2

sin（

x

2

-

π

4

），
而-1≤sin（

x

2

-

π

4

）≤1，所以f（x）的最大值為

2

，…（4分）
此時

x

2

-

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

3π

2

+4kπ，k∈Z，
相應的x的集合為{x|x=

3π

2

+4kπ，k∈Z}．…（6分）
（Ⅱ）依題意f（

π

8

）=sin（

ωπ

8

-

π

4

）=0，
即

ωπ

8

-

π

4

=kπ，k∈Z，…（8分）
整理，得ω=8k+2，…（9分）
又0＜ω＜10，所以0＜8k+2＜10，-

1

4

＜k＜1，…（10分）
而k∈Z，所以k=0，ω=2，…（12分）
所以f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），f（x）的最小正周期為π．…（13分）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，函數(shù)零點的判定定理，屬于基本知識的考查．