Question

設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間[t，t+3]上的最大值.

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

試題分析：

(1)根據(jù)題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo),獲得導(dǎo)函數(shù)的根與大于0小于0的解集,獲得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),極值.進(jìn)而確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,再利用數(shù)形結(jié)合的思想與零點(diǎn)存在性定理的知識(shí)可以得到函數(shù)在上要有兩個(gè)零點(diǎn),需要滿足即可,解不等式即可求出的取值范圍.

(2)根據(jù)題意,則利用(1)可以得到的單調(diào)性以及極值點(diǎn),極值.要得到函數(shù)在含參數(shù)的區(qū)間上的最大值,我們需要討論的范圍得到函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)而得到在該區(qū)間上的最大值,為此分三種情況分別為,依次確定單調(diào)性得到最大值即可.

試題解析：

（1）∵

∴， （1分）

令，解得 （2分）

當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		0	—	0
	↗	極大值	↘	極小值	↗

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）；（4分）
因此在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)， （5分）
解得， 所以a的取值范圍是（0，）. （6分）

（2）當(dāng)a=1時(shí)，. 由（1）可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）；. （7分）

①當(dāng)t+3<-1，即t<-4時(shí)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719062999731252/SYS201411171906413727496048_DA/SYS201411171906413727496048_DA.037.png">在區(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為； （9分）
②當(dāng)，即時(shí)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719062999731252/SYS201411171906413727496048_DA/SYS201411171906413727496048_DA.037.png">在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上的最大值為. （10分）

由，即時(shí)，有[t，t+3]? ，-1?[t，t+3]，所以在上的最大值為； （11分）

③當(dāng)t+3>2，即t>-1時(shí)，

由②得在區(qū)間上的最大值為.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719062999731252/SYS201411171906413727496048_DA/SYS201411171906413727496048_DA.048.png">在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以，

故在上的最大值為. （13分）

綜上所述，當(dāng)a=1時(shí)，

在[t，t+3]上的最大值. （14分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù) 最值 零點(diǎn)