【題目】已知正項數(shù)列的前項和為,若,.
(1)證明:當(dāng)時,;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)設(shè),求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析(2)(3)
【解析】
(1)運(yùn)用已知將n換為n﹣1,作差化簡可得證.(2)結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式,分奇偶分別求通項,合并即可得到所求;
(3)求得數(shù)列{bn}的通項,運(yùn)用錯位相減法,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,化簡整理,即可得到所求和.
(1)時,作差得
,又,所以有
(2)因為時,,所以的奇數(shù)項是以為首項,2為公差的等差數(shù)列;偶數(shù)數(shù)項是以為首項,2為公差的等差數(shù)列;
所以;
所以
(3),
∴Tn=b1+b2+…+bn﹣1+bn=14+342+…+(2n﹣3)4n-1+(2n﹣1)4n①
4n+(2n﹣1)4n+1②
①﹣②得:﹣3(2n﹣1)4n+1
解得:
∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率,左、右焦點(diǎn)分別是、,且橢圓上一動點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離為,過的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)以為直角時,求直線的方程;
(3)直線的斜率存在且不為0時,試問軸上是否存在一點(diǎn)使得,若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解居民的家庭收入情況,某社區(qū)組織工作人員從該社區(qū)的居民中隨機(jī)抽取了戶家庭進(jìn)行問卷調(diào)查,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這些家庭的月收人在元到元之間,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出:
(1)經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),該社區(qū)居民的家庭月收人(單位:百元)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù).若落在區(qū)間的左側(cè),則可認(rèn)為該家庭屬“收入較低家庭" ,社區(qū)將聯(lián)系該家庭,咨詢收入過低的原因,并采取相應(yīng)措施為該家庭提供創(chuàng)收途徑.若該社區(qū)家庭月收入為元,試判斷家庭是否屬于“收人較低家庭”,并說明原因;
(2)將樣本的頻率視為總體的概率
①從該社區(qū)所有家庭中隨機(jī)抽取戶家庭,若這戶家庭月收人均低于元的概率不小于,求的最大值;
②在①的條件下,某生活超市贊助了該社區(qū)的這次調(diào)查活動,并為這次參與調(diào)在的家庭制定了贈送購物卡的活動,贈送方式為:家庭月收入低于的獲贈兩次隨機(jī)購物卡,家庭月收入不低于的獲贈一次隨機(jī)購物卡;每次贈送的購物卡金額及對應(yīng)的概率分別為:
贈送購物卡金額(單位:元) | |||
概率 |
則家庭預(yù)期獲得的購物卡金額為多少元?(結(jié)果保留整數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),,為直線上距離為的兩動點(diǎn),點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn)且不在直線上.
(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程.
(2)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù),其中.
(1)討論的奇偶性;
(2)時,求證:的最小正周期是;
(3),當(dāng)函數(shù)的圖像與的圖像有交點(diǎn)時,求滿足條件的的個數(shù),說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:,(a>b>0)過點(diǎn)(1,)且離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為P,過定點(diǎn)(2,﹣1)的直線l:y=kx+m與橢圓C相交于異于點(diǎn)P的A,B兩點(diǎn),若直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(管道構(gòu)成Rt△FHE,H是直角項點(diǎn))來處理污水.管道越長,污水凈化效果越好.設(shè)計要求管道的接口H是AB的中點(diǎn),E,F(xiàn)分別落在線段BC,AD上.已知AB=20米,AD=米,記∠BHE=.
(1)試將污水凈化管道的長度L表示為的函數(shù),并寫出定義域;
(2)當(dāng)取何值時,污水凈化效果最好?并求出此時管道的長度L.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,動點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若過點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn),過點(diǎn)且與直線垂直的直線與相交于點(diǎn),求的最小值及此時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)僅一個零點(diǎn),求a的取值范圍.
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