若函數(shù)f(x)滿足:在定義域內(nèi)存在實數(shù)x,使f(x+k)=f(x)+f(k)(k為常數(shù)),則稱“f(x)關(guān)于k可線性分解”.
(1)函數(shù)f(x)=2x+x2是否關(guān)于1可線性分解?請說明理由;
(2)已知函數(shù)g(x)=lnx-ax+1(a>0)關(guān)于a可線性分解,求a的范圍;
(3)在(2)的條件下,當a取最小整數(shù)時;
(i)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明不等式:(n!)2≤en(n-1)(n∈N*).
【答案】
分析:(1)函數(shù)f(x)=2
x+x
2是關(guān)于1可線性分解,令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=2(2
x-1+x-1),可得h(0)=-1<0,h(1)=2,利用零點存在定理,即可求得結(jié)論;
(2)根據(jù)新定義,可得ln(x
+a)-a(x
+a)+1=lnx
-ax
+1+lnx-a
2+1,從而可得x
=
,由此可求a的范圍;
(3)(i)求導函數(shù),由導數(shù)的正負,即可求得g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)先證明lnx≤x-1,再累加,即可證得結(jié)論.
解答:(1)解:函數(shù)f(x)=2
x+x
2是關(guān)于1可線性分解,理由如下:
令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=2
x+1+(x+1)
2-2
x-x
2-2-1=2(2
x-1+x-1)
∴h(0)=-1<0,h(1)=2
∴h(x)在(0,1)上至少有一個零點
即存在x
∈(0,1),使f(x
+1)=f(x
)+f(1);
(2)由已知,存在實數(shù)x
,使g(x
+a)=g(x
)+g(a)(a為常數(shù)),
即ln(x
+a)-a(x
+a)+1=lnx
-ax
+1+lnx-a
2+1
∴
=1
∴
∴x
=
∵a>0,∴
;
(3)(i)解:由(2)知,a=1,g(x)=lnx-x+1,
(x>0)
∴x∈(0,1)時,g′(x)>0,∴g(x)的增區(qū)間是(0,1);x∈(1,+∞)時,g′(x)<0,∴g(x)的減區(qū)間是(1,+∞);
(ii)證明:由(i)知x∈(0,+∞),g(x)≤g(1),即lnx-x+1≤0,∴l(xiāng)nx≤x-1
∴l(xiāng)n1=0,ln2<1,ln3<2,…,lnn<n-1
相加得:ln1+ln2+…+lnn≤1+2…+(n-1)
即lnn!≤
∴(n!)
2≤e
n(n-1)(當且僅當n=1時取“=”號).
點評:本題考查新定義,考查學生的計算能力,解題的關(guān)鍵是正確理解新定義,屬于中檔題.