Question

函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)在同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=

π

4

時(shí)y取最大值1，當(dāng)x=

7π

12

時(shí)，y取最小值-1．
（1）求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）．
（2）函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換可得到y(tǒng)=f（x）的圖象？
（3）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)同一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=

π

4

時(shí)y取最大值1，當(dāng)x=

7π

12

時(shí)，y取最小值-1．求出函數(shù)的周期，利用最值求出φ，即可求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）．
（2）函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)左右平移，然后是橫坐標(biāo)變伸縮變換，縱坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)=f（x）的圖象，確定函數(shù)解析式．（3）確定函數(shù)在[0，2π]內(nèi)的周期的個(gè)數(shù)，利用f（x）=a（0＜a＜1）與函數(shù)的對(duì)稱軸的關(guān)系，求出所有實(shí)數(shù)根之和．

解答：解：（1）∵

2π

ω

=2×(

7π

12

-

π

4

)，
∴ω=3，
又因sin(

3

4

π+φ)=1，
∴

3π

4

+φ=2kπ+

π

2

，又|φ|＜

π

2

，得φ=-

π

4

∴函數(shù)f(x)=sin(3x-

π

4

)；

（2）y=sinx的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位得y=sin(x-

π

4

)的圖象，
再由y=sin(x-

π

4

)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

3

．縱坐標(biāo)不變，得到y=sin(3x-

π

4

)的圖象，
（3）∵f(x)=sin(3x-

π

4

)的周期為

2

3

π，
∴y=sin(3x-

π

4

)在[0，2π]內(nèi)恰有3個(gè)周期，
∴sin(3x-

π

4

)=a(0＜a＜1)在[0，2π]內(nèi)有6個(gè)實(shí)根且x1+x2=

π

2

同理，x3+x4=

11

6

π，x5+x6=

19

6

π，
故所有實(shí)數(shù)之和為

π

2

+

11π

6

+

19π

6

=

11π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查計(jì)算能力，是中檔題．