Question

（2012•棗莊一模）已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

b

2

x2+x+1，其中a＞0，a，b∈R．
（1）當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f（x）取得極值？
（2）若f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，試用a表示b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得f′（x）=0有解，a＞0，根據(jù)二次方程的性質(zhì)可求解；
（2）f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，可求解．

解答：解：（1）由已知得f′（x）=ax²+bx+1，
令f′（x）=0，得ax²+bx+1=0，
f（x）要取得極值，方程ax²+bx+1=0，必須有解，
所以△=b²-4a＞0，即b²＞4a，
此時(shí)方程ax²+bx+1=0的根為：
x₁=

-b- b2-4a

2a

，x₂=

-b+ b2-4a

2a

，
所以f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
當(dāng)a＞0時(shí)，

所以f（x）在x₁，x₂處分別取得極大值和極小值．
（2）要使f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，需使f′（x）=ax²+bx+1≥0在[1，2]上恒成立．
即b≥-ax-

1

x

，x∈[1，2]恒成立，
所以b≥-（-ax-

1

x

） max
設(shè)g（x）=-ax-

1

x

，g′（x）=-a+

1

x2

=

1-ax2

x2

，
①當(dāng)

1

a

∈[1，2]時(shí)，即

1

4

≤a≤1，g（x）=-ax-

1

x

≤-2

ax• 1 x

=-2

a

，等號(hào)成立的條件是

1

a

∈[1，2]，
g（x）在[1，2]上的最大值g（

1

a

）=-2

a

，因此b≥-2

a

，
②當(dāng)

1

a

＜1時(shí)，即a＞1時(shí)，g′（x）=-a+

1

x2

=

1-ax2

x2

，且g′（x）＜0，
因此g（x）在[1，2]上單調(diào)減，它的最大值g（1）=-a-1，因此b≥-a-1，
③當(dāng)

1

a

＞2時(shí)，即a＜

1

4

時(shí)，g′（x）=-a+

1

x2

=

1-ax2

x2

，且g′（x）＞0，
因此g（x）在[1，2]上單調(diào)增，它的最大值g（2）=-2a-

1

2

，因此b≥-2a-

1

2

，
綜上，當(dāng)

1

4

≤a≤1時(shí)，b≥-2

a

，當(dāng)

1

a

＜1時(shí)，b≥-a-1，當(dāng)

1

a

＞2時(shí)，b≥-2a-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)極值取得的條件，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題：由f′（x）＞0，解得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；反之函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了分類(lèi)討論及轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．