Question

1．如圖，PA垂直⊙O所在的平面，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，AE⊥PB與E，AF⊥PC于F，給出下列結(jié)論：
①BC⊥平面PAC；
②AF⊥平面PCB；
③EF⊥PB，
④AE⊥平面PBC；
其中上述四個結(jié)論中，錯誤結(jié)論的序號是④．

Answer 1

分析 在①中，推導(dǎo)出AC⊥BC，PA⊥BC，從而BC⊥平面PAC；
在②中，推導(dǎo)出BC⊥AF，AF⊥PC，從而AF⊥平面PBC；
在③中，推導(dǎo)出PB⊥AF，AE⊥PB，從而得到EF⊥PB；
在④中，由AF⊥平面PBC，得到AE與平面PBC不垂直．

解答 解：∵PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，
AE⊥PB于點(diǎn)E，AF⊥PC于點(diǎn)F，
在①中，由AB是直徑，得AC⊥BC，由PA垂直于⊙O所在的平面，得PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，故①正確；
在②中，由①得BC⊥平面PAC，又AF?平面PAC，
∴BC⊥AF，∵AF⊥PC于點(diǎn)F，BC∩PC=C，
∴AF⊥平面PBC，故②正確；
在③中，由②知AF⊥平面PBC，
又PB?平面PBC，∴PB⊥AF，
∵AE⊥PB于點(diǎn)E，AE∩AF=A，
∴PB⊥平面AEF，
∵EF?平面AEF，∴EF⊥PB，故③正確；
在④中，由②知AF⊥平面PBC，
∵AE∩AF=A，∴AE與平面PBC一定不能垂直，故④錯誤．
故答案為：④．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面垂直的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．