Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點
（Ⅰ） 求證：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ） 求二面角B-EF-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)CE中點為M，連接BM，MF，則CB=BE，BM⊥CE，由MF

∥

.

BA，知MB

∥

.

FA，由此能夠證明平面BCE⊥平面CDE．
（2）過M作MP⊥EF于P，連接BP，設(shè)底面正三角形邊長為2，由BM⊥平面CDE，知BM⊥EF，由MP⊥EF，知EF⊥BP，所以∠BPM是二面角B-EF-D的平面角的補角，由此能求出二面角B-EF-D的余弦值．

解答：解：（1）設(shè)CE中點為M，連接BM，MF，則CB=BE，BM⊥CE，
∵MF

∥

.

BA，∴MB

∥

.

FA，
∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥AF，∴DE⊥BM，
又∵CE∩DE=E，∴BM⊥平面CDE，
又∵BM?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
（2）過M作MP⊥EF于P，連接BP，
設(shè)底面正三角形邊長為2，
∵BM⊥平面CDE，∴BM⊥EF，
又∵MP⊥EF，∴EF⊥平面BMP，
∴EF⊥BP，
∴∠BPM是二面角B-EF-D的平面角的補角，
∵BM=

3

，MP=

5

5

，
∴cos∠BPM=

1

4

．
∴二面角B-EF-D的余弦值為-

1

4

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．