Question

（2012•棗莊一模）如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AD=DE=2AB=2a，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出

AF

=

1

2

(

BE

+

BC)

，AF?平面BCE，AF∥平面BCE．
（2）求出平面BCE的一個(gè)法向量

n

，利用

BF

和

n

的夾角求解即可．

解答：（1）證明：設(shè)AD=DE=2AB=2a，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則
A（0，0，0），C（2a，0，0），B（0，0，a），D（a，

3

a，0），E（a，

3

a，2a），．
∵F為CD的中點(diǎn)，∴F（

3

2

a，

3

2

a，0）．（2分）

AF

=（

3

2

a，

3

2

a，0）．

BE

=（a，

3

a，a），

BC

=（2a，0，-a），
∵

AF

=

1

2

(

BE

+

BC)

，AF?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）解：設(shè)平面BCE的法向量為

n

=（x，y，z），由

n • BE =0 n • BC =0

可得：

x+ 3 y+z=0 2x-z=0

，取x=1，則

n

=（1，

3

，2），（8分）
又

BF

=（

3

2

a，

3

2

a，-a），設(shè)BF和平面BCE所成的角為θ，
則sinθ=

| BF • n |

| BF |•| n |

=

2a

2a•2 2

=

2

4

．
∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為

2

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面平行的判定，線面角大小求解．由于本幾何體具有良好的建立空間直角坐標(biāo)系的條件，所以選用了向量方法．可以降低空間想象難度，但要注意計(jì)算和關(guān)系的轉(zhuǎn)化．