Question

如圖在Rt△ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0），，曲線E過(guò)C點(diǎn)且曲線E上任一點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|是定值．
（Ⅰ）求出曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線E與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為D、Q，是否存在斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M、N，且向量與共線．若存在，求出此直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)，|AC|=，|AB|=2，|BC|=
∵點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|是定值．
∴|PA|+|PB|=+=2＞|AB|
由橢圓的定義，可知點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且a=，c=1，b=
∴曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）由已知條件l方程為y=kx+，由消去y整理得（1+2k²）x²+x+2=0
l與橢圓有2個(gè)不同交點(diǎn)的條件為△=32k²-8（1+2k²）＞0，解得或
若l與橢圓交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴，
=（x₁+x₂，y₁+y₂）
橢圓與x軸，y軸交點(diǎn)D（，0），Q（0，1），
∵向量與共線
∴
∴
解得k=∉
∴不存在符合題設(shè)條件的直線l．
分析：（Ⅰ）利用題設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|是定值，可知點(diǎn)P的及軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，從而可求曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)l方程與橢圓方程聯(lián)立，利用l與橢圓有2個(gè)不同交點(diǎn)確定k的取值范圍，利用向量與共線，求出k的取值，由此即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．