Question

設(shè)定圓，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）已知，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交軌跡于、兩點(diǎn)，的外心為．

若直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）求軌跡的方程，由題意定圓，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，由此可得圓內(nèi)切于圓，可得，根據(jù)橢圓定義可知軌跡為橢圓，故可求出軌跡的方程；（2）求證：為定值，由題意直線斜率不為0，可設(shè)直線為， 設(shè)點(diǎn)，，由，由根與系數(shù)關(guān)系得，寫出直線的中垂線方程，與直線的中垂線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即得直線的斜率，從而可得為定值．

試題解析：（1）∵點(diǎn)在圓內(nèi) ∴圓內(nèi)切于圓

∴

∴點(diǎn)的軌跡.的方程為 5分

（2）由存在 ∴ 直線斜率不為0

設(shè)直線為 設(shè)點(diǎn)，

直線的中垂線方程為：

即 ∵ ∴即

即 即

同理可得直線的中垂線方程為： 7分

∴點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

9分

又∵直線的斜率為 ∴（） 13分

考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與二次曲線的位置關(guān)系．