Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為[-2，+∞），部分對應值如下表：

x	-2	0	4
f（x）	1	-1	1

f′（x）為f（x）的導函數(shù)，函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，若f（x²+3x）＜1，則x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：由函數(shù)y=f′（x）的圖象可知：函數(shù)f（x）在[-2，0）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減；在（0，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．通過對a分類討論即可得出．

解答： 解：由函數(shù)y=f′（x）的圖象可知：函數(shù)f（x）在[-2，0）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減；在（0，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．
當x≥0時，由f（x²+3x）＜1=f（4），可得x²+3x＜4，解得-4＜x＜1，又x≥0，∴0≤x＜1．
當-2≤x＜0時，由f（x²+3x）＜1=f（-2），可得x²+3x＞-2，解得-1＜x，或x＜-2，又-2≤x＜0，
∴-1＜x＜0．
綜上可得：x的取值范圍是（-1，1）．
故答案為：（-1，1）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、解不等式，考查了數(shù)形結合的思想方法，考察了推理能力和計算能力，屬于難題．