Question

已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)閧x∈R|x≠0），對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y 都有f（x）+f（y）=f（xy），且x＞1時(shí)，f（x）＞0，則（　　）

• A、f（x）在（-∞，0）上遞減，在（ 0，+∞）上遞增
• B、f（x）在（-∞，0）上遞增，在（ 0，+∞）上遞減
• C、f（x）在（-∞，0）上遞增，在（ 0，+∞）上遞增
• D、f（x）在（-∞，0）上遞減，在（ 0，+∞）上遞減

Answer 1

分析：令x=y=1⇒f（1）=0；分0＜x₁＜x₂與若x₁＜x₂＜0討論，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可．

解答：解：令x=y=1，則f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
若0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
由題意，f（

x2

x1

）＞0，
又定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；
若x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
∴

-x1

-x2

=

x1

x2

＞1，
∴同理得f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)；
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．